همبستگی

چندین مجموعه از نقاط (x ، y) ، با ضریب همبستگی x و y برای هر مجموعه. توجه داشته باشید که این همبستگی نشان دهنده پر سر و صدا و جهت یک رابطه خطی (ردیف بالا) است ، اما نه شیب آن رابطه (میانه) و نه بسیاری از جنبه های روابط غیرخطی (پایین). N. B: شکل در مرکز دارای شیب 0 است اما در این حالت ضریب همبستگی تعریف نشده است زیرا واریانس Y صفر است.

در تئوری و آمار احتمال ، همبستگی ، (که اغلب به عنوان ضریب همبستگی اندازه گیری می شود) ، نشان دهنده قدرت و جهت یک رابطه خطی بین دو متغیر تصادفی است. به طور کلی استفاده آماری ، همبستگی یا ارتباط مشترک به عزیمت دو متغیر از استقلال اشاره دارد. به این معنا گسترده چندین ضرایب وجود دارد که میزان همبستگی را اندازه گیری می کند ، با ماهیت داده ها سازگار است.

تعدادی از ضرایب مختلف برای موقعیت های مختلف استفاده می شود. معروف ترین ضریب همبستگی محصول پیرسون-لحظه ای است که با تقسیم کواریانس دو متغیر بر اساس محصول انحراف استاندارد آنها بدست می آید. علی رغم نام آن ، برای اولین بار توسط فرانسیس گالتون معرفی شد.[1]

فهرست

• 1 ضریب محصول پیرسون
  • 1. 1 خصوصیات ریاضی
  • 1. 2 همبستگی نمونه
  • 1. 3 تفسیر هندسی از همبستگی
  • 1. 4 انگیزه برای شکل ضریب همبستگی
  • 1. 5 تفسیر از اندازه یک همبستگی
  • 7. 1 همبستگی و علیت
  • 7. 2 همبستگی و خطی

  ضریب محصول لحظه ای پیرسون

  مقاله اصلی: ضریب همبستگی محصول پیرسون

  خصوصیات ریاضی

  ضریب همبستگی ρ_{X ، y}بین دو متغیر تصادفی x و y با مقادیر مورد انتظار μ_ایکسو μ_حرفو انحرافات استاندارد σ_ایکسو σ_حرفبه عنوان ... تعریف شده است:

  جایی که E اپراتور ارزش مورد انتظار و COV به معنای کوواریانس است. از آنجا_ایکس= E (x) ، σ_ایکس2 = E (x 2) - E 2 (x) و به همین ترتیب برای y ، ما نیز ممکن است بنویسیم

  این همبستگی فقط در صورتی تعریف می شود که هر دو انحراف استاندارد محدود باشند و هر دو آنها غیر Zero هستند. این نتیجه نابرابری Cauchy-Schwarz است که این همبستگی نمی تواند از 1 در ارزش مطلق تجاوز کند.

  همبستگی 1 در صورت افزایش رابطه خطی ، 1 - در صورت کاهش رابطه خطی ، و مقداری در بین سایر موارد ، نشان می دهد که میزان وابستگی خطی بین متغیرها است. هرچه ضریب نزدیکتر باشد به 1 یا 1 ، همبستگی بین متغیرها قوی تر است.

  اگر متغیرها مستقل باشند ، همبستگی 0 است ، اما مکالمه صحیح نیست زیرا ضریب همبستگی فقط وابستگی های خطی بین دو متغیر را تشخیص می دهد. در اینجا یک مثال وجود دارد: فرض کنید متغیر تصادفی X به طور یکنواخت در بازه از 1 تا 1 و y = x 2 توزیع می شود. سپس y کاملاً توسط x تعیین می شود ، به طوری که x و y وابسته هستند ، اما همبستگی آنها صفر است. آنها بی ارتباط هستند. با این حال ، در مورد خاص که x و y به طور مشترک طبیعی هستند ، عدم همبستگی معادل استقلال است.

  همبستگی بین دو متغیر در حضور خطای اندازه گیری در مورد تخمین های یک یا هر دو متغیر رقیق می شود ، در این صورت عدم تحقیر ضریب دقیق تری را فراهم می کند.

  همبستگی نمونه

  اگر یک سری اندازه گیری N از x و y به صورت x نوشته شده است_iو y_iجایی که i = 1 ، 2 ،. n ، سپس از ضریب همبستگی محصول پیرسون می توان برای برآورد همبستگی x و y استفاده کرد. ضریب پیرسون همچنین به عنوان "ضریب همبستگی نمونه" شناخته می شود. ضریب همبستگی پیرسون سپس بهترین تخمین همبستگی x و y است. ضریب همبستگی پیرسون نوشته شده است:

  جایی که bar و bar نمونه x و y ، s هستند_ایکسو s_حرفنمونه انحراف استاندارد x و y و جمع از i = 1 تا n است. مانند همبستگی جمعیت ، ما ممکن است این را بازنویسی کنیم

  باز هم ، همانطور که با همبستگی جمعیت صادق است ، مقدار مطلق همبستگی نمونه باید کمتر از یا برابر با 1 باشد. اگرچه فرمول فوق به راحتی یک الگوریتم تک پاس را برای محاسبه همبستگی نمونه نشان می دهد ، به دلیل بی ثباتی عددی آن بدنام است (برای چیزهای دقیق تر به زیر مراجعه کنید).

  مربع ضریب همبستگی نمونه ، که به عنوان ضریب تعیین نیز شناخته می شود ، کسری از واریانس در y است_iکه با تناسب خطی x به حساب می آید_iاسباب بازی_iبشراین نوشته شده است

  جایی که_{y |ایکس}2 مربع خطای رگرسیون خطی x است_iدر y_iتوسط معادله y = a + bx:

  و s_حرف2 فقط واریانس Y است:

  توجه داشته باشید که از آنجا که ضریب همبستگی نمونه در x متقارن است_iو y_i، ما برای تناسب y همان مقدار را دریافت خواهیم کرد_iبه x_i :

  این معادله همچنین ایده بصری از ضریب همبستگی برای ابعاد بالاتر ارائه می دهد. درست همانطور که ضریب همبستگی نمونه فوق ، کسری از واریانس است که با تناسب یک زیرنویس خطی 1 بعدی به مجموعه ای از بردارهای 2 بعدی (x) حساب می شود (x_i , y_i) ، بنابراین ما می توانیم ضریب همبستگی را برای تناسب یک زیرنویس خطی m- بعدی به مجموعه ای از بردارهای N- بعدی تعریف کنیم. به عنوان مثال ، اگر یک هواپیما z = a + bx + cy را به مجموعه ای از داده ها متناسب کنیم (x_i , y_i , z_i) سپس ضریب همبستگی Z به x و y است

  توزیع ضریب همبستگی توسط R. A. Fisher [2] [3] و A. K. Gayen بررسی شده است.[4]

  تفسیر هندسی از همبستگی

  ضریب همبستگی همچنین می تواند به عنوان کسین زاویه بین دو بردار نمونه های حاصل از دو متغیر تصادفی مشاهده شود.

  احتیاط: این روش فقط با داده های متمرکز کار می کند ، یعنی داده هایی که توسط نمونه تغییر یافته اند به گونه ای که به طور متوسط صفر باشد. برخی از پزشکان ضریب همبستگی غیرقانونی (سازگار با مرواریده) را ترجیح می دهند. برای مقایسه ، مثال زیر را مشاهده کنید.

  به عنوان نمونه ، فرض کنید پنج کشور به ترتیب محصولات ناخالص ملی 1 ، 2 ، 3 ، 5 و 8 میلیارد دلار دارند. فرض کنید این پنج کشور مشابه (به همان ترتیب) مشخص شده است که 11 ٪ ، 12 ٪ ، 13 ٪ ، 15 ٪ و 18 ٪ فقر دارند. سپس اجازه دهید x و y به بردارهای 5 عنصر حاوی داده های فوق سفارش داده شود: x = (1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8) و y = (0. 11 ، 0. 12 ، 0. 13 ، 0. 15 ، 0. 18).

  با رویه معمول برای یافتن زاویه بین دو بردار (به محصول DOT مراجعه کنید) ، ضریب همبستگی غیرقابل کنترل:

  توجه داشته باشید که داده های فوق عمداً با همبستگی انتخاب شده اند: Y = 0. 10 + 0. 01 x. بنابراین ضریب همبستگی پیرسون باید دقیقاً یکی باشد. با محوریت داده ها (تغییر x توسط e (x) = 3. 8 و y توسط E (y) = 0. 138) x = (8/2 ، −1. 8 ، -0. 8 ، 1. 2 ، 4. 2) و y = (0. 028 ، 0. 018 ، ، 018 ، . 018 ،. 0. 008 ، 0. 012 ، 0. 042) ، از آن

  انگیزه برای شکل ضریب همبستگی

  انگیزه دیگری برای همبستگی از بازرسی از روش رگرسیون خطی ساده ناشی می شود. همانطور که در بالا ، x بردار متغیرهای مستقل است ،$x\_i$، و y از متغیرهای وابسته ،$y\_i$، و یک رابطه خطی ساده بین x و y ، از طریق یک روش حداقل مربعات در مورد برآورد y جستجو می شود:

  سپس ، معادله خط کمترین مربع می تواند از فرم حاصل شود:

  که می تواند به شکل تنظیم مجدد شود:

  تفسیر اندازه یک همبستگی

  همبستگی	منفی	مثبت
  کم اهمیت	0. 3 تا 0. 1	0. 1 تا 0. 3
  متوسط	0. 5 تا 0. 3	0. 3 تا 0. 5
  بزرگ	1. 0 تا 0. 5	0. 5 تا 1. 0

  چندین نویسنده دستورالعمل هایی را برای تفسیر ضریب همبستگی ارائه داده اند. کوهن (1988) ، [5] همانطور که خود کوهن مشاهده کرده است ، با این حال ، همه این معیارها به نوعی خودسرانه هستند و نباید بیش از حد مشاهده شوند. این امر به این دلیل است که تفسیر ضریب همبستگی به زمینه و اهداف بستگی دارد. در صورت تأیید قانون فیزیکی با استفاده از ابزارهای با کیفیت بالا ، همبستگی 0. 9 ممکن است بسیار کم باشد ، اما ممکن است در علوم اجتماعی بسیار بالا در نظر گرفته شود که در آن ممکن است سهم بیشتری از عوامل پیچیده وجود داشته باشد.

  در این راستا ، یادآوری این نکته حائز اهمیت است که "بزرگ" و "کوچک" را نباید به عنوان مترادف برای "خوب" و "بد" از نظر تعیین اینکه یک همبستگی از نظر اندازه خاصی است ، گرفته شود. به عنوان مثال ، یک همبستگی 1. 0 یا −1. 0 نشان می دهد که دو متغیر مورد تجزیه و تحلیل ، مقیاس بندی مدول معادل هستند. از نظر علمی ، این بیشتر نشانگر نتیجه بی اهمیت است تا یک زمین خرد کننده. به عنوان مثال ، کشف همبستگی 1. 0 بین چند پا بلند یک گروه از افراد و تعداد اینچ از پایین پاهای خود تا بالای سر خود را در نظر بگیرید.

  ضرایب همبستگی غیر پارامتری

  ضریب همبستگی پیرسون یک آمار پارامتری است و هنگامی که توزیع ها طبیعی نیستند ، ممکن است از روشهای همبستگی غیر پارامتری ، مانند Chi-Square ، همبستگی دوتایی نقطه ، ρ Spearman ، Kendall's τ و Goodman و Kruskal's Lambda مفیدتر باشند. اگر فرضیات اساسی در مورد دومی برآورده شود ، آنها کمی قدرتمندتر از روشهای پارامتری هستند ، اما در صورت عدم موفقیت فرضیات ، احتمالاً نتایج تحریف شده ای به دست می آورند.

  سایر اقدامات وابستگی بین متغیرهای تصادفی

  برای به دست آوردن یک اندازه گیری برای وابستگی های عمومی تر در داده ها (همچنین غیرخطی) بهتر است از نسبت همبستگی استفاده کنید که قادر به تشخیص تقریباً هرگونه وابستگی عملکردی باشد ، یا اطلاعات متقابل مبتنی بر آنتروپی/همبستگی کل که قادر به تشخیص حتی بیشتر استوابستگی های عمومیدومی گاهی اوقات به عنوان اقدامات همبستگی چند لحظه ای گفته می شود ، در مقایسه با آنهایی که تنها لحظه 2 (جفت یا درجه دوم) را در نظر می گیرند.

  همبستگی پلیچوری همبستگی دیگری است که برای داده های معمولی اعمال می شود که هدف از آن تخمین همبستگی بین متغیرهای نهفته تئوری شده است.

  کپی و همبستگی

  اطلاعات داده شده توسط ضریب همبستگی برای تعریف ساختار وابستگی بین متغیرهای تصادفی کافی نیست. برای تصرف کامل آن باید یک کوپلا را بین آنها در نظر بگیریم. ضریب همبستگی ساختار وابستگی را فقط در موارد بسیار خاص تعریف می کند ، به عنوان مثال وقتی توابع توزیع تجمعی توزیع عادی چند متغیره هستند. در مورد توزیع های بیضوی ، بیضی های (بیش از حد) از چگالی برابر را مشخص می کند ، با این حال ، ساختار وابستگی را کاملاً مشخص نمی کند (به عنوان مثال ، درجه آزادی توزیع چند متغیره سطح وابستگی به دم را تعیین می کند).

  ماتریس همبستگی

  ماتریس همبستگی N متغیرهای تصادفی x₁،ایکس_حرفماتریس n × n است که ورود من ، j corr (x است_من، ایکس_j). اگر اقدامات همبستگی مورد استفاده ضرایب لحظه ای محصول باشد ، ماتریس همبستگی همان ماتریس کواریانس متغیرهای تصادفی استاندارد x است_من/SD (x_من) برای i = 1 ،. n. در نتیجه لزوماً یک ماتریس مثبت-ستایشگریت است.

  ماتریس همبستگی متقارن است زیرا همبستگی بین$x\_i$وت$x\_j$همان همبستگی بین$x\_j$وت$x\_i$.

  از بین بردن همبستگی

  همیشه می توان همبستگی بین متغیرهای تصادفی صفر با یک تبدیل خطی را حذف کرد ، حتی اگر رابطه بین متغیرها غیرخطی باشد. فرض کنید یک بردار از متغیرهای تصادفی N بار نمونه برداری شده است. بگذارید x یک ماتریس باشد که در آن X_ متغیر j از نمونه i است. بگذارید z_ توسط ماتریس c با هر عنصر 1. باشد. سپس D داده تبدیل شده است بنابراین هر متغیر تصادفی دارای میانگین صفر است ، و t داده های تبدیل شده است بنابراین همه متغیرها دارای میانگین صفر ، واریانس واحد و همبستگی صفر با سایر متغیرها هستندبشرمتغیرهای تبدیل شده با هم ارتباط ندارند ، حتی اگر ممکن است مستقل نباشند.

  جایی که یک نمایند ه-1/2 نشان دهنده ریشه مربع ماتریس معکوس یک ماتریس است. ماتریس کواریانس T ماتریس هویت خواهد بود. اگر یک نمونه داده جدید X یک بردار ردیف از عناصر N باشد ، می توان از همان تبدیل به X استفاده کرد تا بردارهای تبدیل شده D و T را بدست آورید:

  تصورات غلط رایج در مورد همبستگی

  همبستگی و علیت

  مقاله اصلی: همبستگی به معنای علیت نیست

  دیکته متعارف که "همبستگی به معنای علیت نیست" به این معنی است که نمی توان از همبستگی به طور معتبر برای استنباط یک رابطه علّی بین متغیرها استفاده کرد. این دیکته نباید به این معنی باشد که همبستگی ها نمی توانند نشانگر روابط علّی باشند. با این حال ، علل اساسی این همبستگی ، در صورت وجود ، ممکن است غیرمستقیم و ناشناخته باشد. در نتیجه ، ایجاد همبستگی بین دو متغیر یک شرط کافی برای ایجاد یک رابطه علی (از هر جهت) نیست.

  در اینجا یک مثال ساده وجود دارد: هوای گرم ممکن است باعث کاهش خرید لباس گرم و هم افزایش خرید بستنی شود. بنابراین خرید لباس گرم با خریدهای بستنی در ارتباط است. اما کاهش خریدهای گرم لباس باعث خرید بستنی نمی شود و خرید بستنی باعث کاهش خریدهای گرم لباس نمی شود.

  همبستگی بین سن و قد در کودکان نسبتاً شفاف است ، اما همبستگی بین خلق و خو و سلامتی در افراد کمتر است. آیا روحیه بهبود یافته منجر به بهبود سلامت می شود. یا سلامتی خوب منجر به روحیه خوب می شود. یا هر دو؟یا اینکه برخی از عوامل دیگر هر دو را تحت تأثیر قرار می دهد؟یا این یک تصادف خالص است؟به عبارت دیگر ، همبستگی می تواند به عنوان شواهدی برای یک رابطه علّی احتمالی در نظر گرفته شود ، اما نمی تواند نشان دهد که در صورت وجود ، رابطه علّی چیست.

  همبستگی و خطی

  چهار مجموعه داده با همبستگی یکسان 0. 81

  در حالی که همبستگی پیرسون نشان دهنده قدرت یک رابطه خطی بین دو متغیر است ، ارزش آن به تنهایی ممکن است برای ارزیابی این رابطه کافی نباشد ، به خصوص در موردی که فرض عادی بودن نادرست است.

  تصویر در سمت راست پراکندگی های کوارتت Anscombe را نشان می دهد ، مجموعه ای از چهار جفت متغیر مختلف که توسط Francis Anscombe ایجاد شده است.[6] چهار$y$متغیرها دارای میانگین یکسان (7. 5) ، انحراف استاندارد (4. 12) ، همبستگی (81/0) و خط رگرسیون هستند ($y\; =\; 3\; +\; 0.\; 5x$). با این حال ، همانطور که در توطئه ها مشاهده می شود ، توزیع متغیرها بسیار متفاوت است. به نظر می رسد اولین مورد (بالا سمت چپ) به طور عادی توزیع می شود و مطابق با آنچه انتظار می رود هنگام در نظر گرفتن دو متغیر در ارتباط و پیروی از فرض عادی بودن باشد. مورد دوم (بالا سمت راست) به طور عادی توزیع نمی شود. در حالی که می توان یک رابطه آشکار بین دو متغیر مشاهده کرد ، خطی نیست و ضریب همبستگی پیرسون ربطی ندارد. در مورد سوم (پایین سمت چپ) ، رابطه خطی کاملاً مناسب است ، به جز یک دور که تأثیر کافی برای کاهش ضریب همبستگی از 1 تا 0. 81 دارد. سرانجام ، مثال چهارم (پایین سمت راست) مثال دیگری را نشان می دهد که یک دور از هم برای ایجاد ضریب همبستگی بالا کافی است ، حتی اگر رابطه بین دو متغیر خطی نباشد.

  این مثالها نشان می دهد که ضریب همبستگی ، به عنوان یک آمار خلاصه ، نمی تواند جایگزین بررسی فردی داده ها شود.

  همبستگی محاسباتی را به طور دقیق در یک پاس واحد

  الگوریتم زیر (در شبه کد) همبستگی پیرسون را با ثبات عددی خوب محاسبه می کند.

  sum_sq_x = 0 sum_sq_y = 0 sum_coproduct = 0 email_x = x [1] year_y = y [1] برای i در 2 تا n: sweep = (i - 1. 0) / i delta_x = x [i] - mean_x delta_y = y [i] - year_y sum_sq_x += delta_x * delta_x * sweep sum_sq_y += delta_y * delta_y * sweep sum_coproduct += delta_y * sweep eye_x += delta_y += delta_y += delta_y / i pop_sd_sd_x = sqrt (sump_sd_x = sqrt_x =(sum_sq_y / n) cov_x_y = sum_coproduct / n همبستگی = cov_x_y / (pop_sd_x * pop_sd_y)

  همچنین ببینید

  • همبستگی
  • انجمن (آمار)
  • همبستگی
  • ضریب تعیین
  • کسری از واریانس غیر قابل توضیح
  • لامبدا گودمن و کروسکال
  • تاو کندال
  • همبستگی خطی (ویکوریت)
  • ضریب همبستگی محصول پیرسون
  • ضریب همبستگی نقطه
  • همبستگی جزئی
  • ضریب همبستگی Spearman
  • داوری آماری
  • همبستگی ارز

  یادداشت ها و منابع

  1. ↑ راجرز ، J. L. و Nicewander ، W. A. (1988)."سیزده راه برای بررسی ضریب همبستگی". آمریكا آمریكا. 42: 59 & ndash ، 66. doi: 10. 2307/2685263. CS1 حفظ: نام های متعدد: لیست نویسندگان (لینک)
  2. ↑ r. A. فیشر (1915)."توزیع فرکانس مقادیر ضریب همبستگی در نمونه ها از یک جمعیت نامحدود بزرگ". بیومتریکا. 10: 507 & ndash ، 521.
  3. ↑ R. A. Fisher (1921)."بر روی خطای احتمالی یک ضریب همبستگی استنتاج شده از یک نمونه کوچک". مترون .
  4. ↑ A. K. Gayen (1951)."توزیع فرکانس ضریب همبستگی لحظه ای محصول در نمونه های تصادفی با هر اندازه ای که از جهان های غیر عادی گرفته شده است". بیومتریک . 38: 219& ndash، 247.
  5. ↑ کوهن، جی (1988). تحلیل توان آماری برای علوم رفتاری (ویرایش دوم)
  6. ↑ Anscombe, Francis J. (1973) نمودارها در تجزیه و تحلیل آماری. آماردان آمریکایی، 27، 17-21.

  بیشتر خواندن

  • کوهن، جی، کوهن پی، وست، اس. جی.، و آیکن، ال. اس.(2003). تحلیل رگرسیون/همبستگی چندگانه کاربردی برای علوم رفتاری.(ویرایش سوم) Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

  لینک های خارجی

  • درک همبستگی - مطالب مقدماتی توسط پروفسور U. of Hawaii.
  • کتاب درسی الکترونیک Statsoft
  • ضریب همبستگی پیرسون - نحوه محاسبه سریع آن
  • یادگیری با شبیه سازی - توزیع ضریب همبستگی
  • همبستگی قدرت رابطه خطی بین دو متغیر را اندازه گیری می کند.
  • صفحه MathWorld در ضریب(های) همبستگی (متقابل) یک نمونه.
  • محاسبه اهمیت بین دو همبستگی - یک وب سایت مفید برای مقایسه دو مقدار همبستگی.