چرا واگرایی از یک میدان بردار که از نظر بزرگی کاهش می یابد ، در حالی که ما از مبدا مثبت در نقاط غیر از مبدا فاصله می گیریم ، کاهش می یابد؟

واگرایی $ frac<hat>$ مثبت است ، $ frac<hat>$ صفر و $ frac است<hat>$ در نقاط غیر از مبدا منفی است.

همانطور که من مطالعه کردم ، واگرایی در فضای سه بعدی می گوید که آیا منابع یا سینک های موجود در آن وجود دارد. فکر اولیه من این بود که از آنجا که میزان بردارها در حال کاهش است ، بنابراین واگرایی باید برای هر سه مورد منفی باشد اما این مورد نیست. مانند تولید وکتور بیشتر در حال تولید نیست ، همان تعداد بردار از قسمت مقطع کروی شعاع $ r+dr $ عبور می کند که از طریق مقطع شعاع $ r $ منتقل می شود. سوال من این است که آیا کسی می تواند شهود جسمی را ارائه دهد که چرا واگرایی برای قسمت بردار اول مثبت است ، صفر برای دوم و منفی برای سوم؟

$ begingroup $ "[.] همان [شار] از بخش مقطع کروی شعاع $ r+dr $ عبور می کند که از بخش مقطع شعاع $ r $ عبور می کند."چرا فکر می کنی این؟$ endgroup $

$ begingroup $ سوال شما چیست؟در عنوان پست سوالی وجود ندارد و هیچ سوالی در بدنه پست شما وجود ندارد. اگر سؤال روشنی وجود نداشته باشد ، احتمالاً پاسخ روشنی نخواهد داشت. لطفاً پست را ویرایش کنید تا یک سوال واقعی بپرسید.$ endgroup $

$ begingroup $ sumitgupta من هنوز مطمئن نیستم که شما این ایده را دریافت می کنید که تعداد تحت اللفظی بردارها یک چیز معنی دار است که باید در مورد آن صحبت کنید- این هرگز ، هرگز نیست. در آینده مراقب این موضوع باشید.$ endgroup $

2 پاسخ 2

ابتدا اجازه دهید با نگاه به واگرایی در 1D ، برخی از شهودها را بسازید. تصور کنید که شما یک رودخانه دارید که دارای یک جریان بسیار یکنواخت است ، بنابراین می توانید جریان را به عنوان 1 بعد تقریب دهید. جریان نیز به موقع استاتیک است. این رودخانه خاص در جهت x مثبت جریان می یابد بنابراین $ v (x) $ مثبت است و در یک مکان خاص فرض می کنیم که آن $ frac را داریم<partial v><partial x>>0 $. این بدان معنی است که واگرایی را می توان با $ $ nabla cdot vec v = frac تقریب داد<partial v><partial x>approxfrac(v(x+Delta x)-v(x))>0$$ We can conclude that $v(x+Delta x)> v(x)$ . The quantity $v(x) imes ext$ gives how much volume is passing through the plane at $x$ at each second. We must conclude that more volume is passing through $v(x+Delta x)$ than through $v(x)$ . (we assume constant cross section). The density of the water in the region $[x,x+Delta x]$ must be decreasing as the water flows through this section of river given that no water is destroyed/created. So if you imagine a vector field $vec v$ as being the flow of water/particles then $ ablacdot vec v>0 $ به این معنی است که چگالی به صورت محلی کاهش می یابد و برعکس وقتی $ nabla cdot vec v

So now that we have built up some intuition I want to show it visually. It's better to draw this in 2D so let's consider the divergence of these functions in 2D: egin ablacdotleft(hat r r ight)&=2>0 \ nabla cdot سمت چپ ( frac<hat r> راست) & = 0 \ nabla cdot سمت چپ ( frac<hat r> راست) & =- frac<0 endI picked these functions to give the best visual results.

در انیمیشن های زیر ذرات را زیر یک میدان بردار به عنوان سرعت مشاهده می کنید. قسمتهای بردار ، از بالا به پایین ، توسط $ Vec v ( vec r) propto vec r ، frac داده شده است<hat r>، frac<hat r>$آنها همچنین کمی مقیاس بندی می شوند زیرا در غیر این صورت برخی از این انیمیشن ها خیلی سریع یا خیلی کند خواهند بود.

دیدن این ممکن است کمی سخت باشد اما می توانید بگویید که در تصویر بالا (واگرایی مثبت) با حرکت ذرات به سمت بالا ، چگالی پایین می رود. این اثر ترکیبی از ذرات پخش می شود و ذرات سرعت می یابند که هر دو باعث افزایش واگرایی می شوند. در تصویر پایین ذرات را مشاهده می کنید. تأثیر کند شدن آنقدر قوی است که کاملاً از اثر گسترش آن غلبه می کند. در تصویر میانی پخش و کند شدن کاملاً متعادل است که منجر به چگالی یکنواخت خوب می شود.

این اثرات را می توان به سه بعدی ترجمه کرد اما ابعاد خاص تغییر می کند ، تأثیر گسترش در ابعاد بالاتر قوی تر است.

$ begingroup $ این همان چیزی است که من به آن نیاز داشتم اما استفاده از هوا از آب شهودی تر خواهد بود زیرا فرض بر این است که آب غیر قابل فشار است.$ endgroup $

مشکل واگرایی از زمینه هایی که شما نوشتید این است که از نظر مبدا تعریف نشده است. بنابراین هر آنچه که می یابید فقط در صورتی معتبر است که $ r neq0 $ باشد و ما باید به صورت دستی ارزش واگرایی را در مبدا اضافه کنیم. چطوری انجامش میدیم؟ما از این واقعیت استفاده می کنیم که انتگرال واگرایی در حجم برابر با شار میدان بردار بر روی یک سطح است که آن حجم را محصور می کند.

ما با محاسبه شار $ phi $ زمینه های بردار شما روی پوسته کروی $ s $ شعاع $ r $ یعنی شروع می کنیم

جایی که من از این واقعیت استفاده کردم که میدان بردار همیشه عمود بر سطح است ، بنابراین ما فقط می توانیم ارزش آن را با $ r = r $ در سطح $ s $ ادغام کنیم. البته در مختصات کروی ، $ ds = r^2 sin ( theta) d theta d phi $ از این رو

$ $ phi = r^ int sin ( theta) d theta d phi = 4 pi r^ $ $

جایی که انتگرال من فقط زاویه جامد 4 pi $ است.

این باید مطابق با انتگرال واگرایی در داخل حجم باشد.

همانطور که مشاهده می کنید ، شار روی سطح همیشه یکسان نیست و می تواند به $ R $ بستگی داشته باشد. این امر به این دلیل است که به جز مورد n = 2 $ $ ، زمینه های دیگر خیلی سریع کاهش می یابند / به اندازه کافی سریع نیستند که شار همیشه در هر فاصله یکسان باشد (مقیاس سطح به عنوان $ sim r^2 $ بنابراین شما نیاز داریدجبران آن یا وابستگی $ $ R $)

برای n = 2 شار 4 دلار pi $ است. اما اگر واگرایی را ادغام کنیم ، 0. می گیریم تا کارها را انجام دهیم ، باید عملکرد دلتا دیراک را در مبدأ تعریف کنیم که چیز را برطرف می کند. کمی مشکل اما کار می کند. نظرات خود را به سوالات خود مشاهده کنید.

برای n = 1 ، شار 4 $ pi r $ و واگرایی 1 دلار/r^2 $ است. اگر واگرایی را بر روی حجم خود ادغام کنیم

$ $ 4 pi int^r r^2dr ؛<1over r^2>= 4 pi r $ $ بنابراین همه خوب است. شار (و از این رو همچنین انتگرال واگرایی نسبت به حجم) وابسته به $ $ است اما هر دو مقدار یکسان هستند. همه خوبما حتی لازم نیست که به رفتار در اصل اهمیت دهیم ، فقط کار می کند ..

For $n=3$ (and $n>2$ in general) things get tricky. We know, as you mentioned, that the flux (and hence the integral of the div) must be positive and indeed we get $Phi = 4pi /R>0 $ (مهره با R $ $ کاهش می یابد زیرا این زمینه خیلی سریع به 0 می رود). با این حال اگر سعی کنیم در جلد ای که پیدا می کنیم ، انتگرال را انجام دهیم

$ $-4 pi int ^r r ^2dr<1over r^4>= lim_ 4 pi سمت چپ (<1over R>-<1over epsilon> RIGHT) $ $ که در آن من از $ epsilon $ استفاده کردم تا مبدا را حذف کنم. این منفی است و همگرا نمی شود. باز هم ، مشکل این است که ما نمی دانیم در اصل چه اتفاقی می افتد. ما فقط می دانیم که باید چیزی بسیار بزرگ (بسیار نامتناهی!) وجود داشته باشد که بی نهایت انتگرال فوق را جبران کند و همچنین منفی آن باشد ، باید چیزی شبیه 4 4 pi / epsilon $ با $ epsilon باشد تا 0 $ (من واقعاً نمی دانم ، اما من تصور می کنم در مبدأ چیزی شبیه به 4 دلار pi delta (r)/r $) وجود دارد

به طور کلی ، مشکل این است که قسمت بردار آنقدر سریع کاهش می یابد که تنها سهم مربوطه در منشأ است و ما آن را نمی دانیم. این پارادوکس "علامت منفی" را برطرف می کند. این منجر به واگرایی به سمت منشأ می شود زیرا در مبدأ چیز عظیمی وجود دارد که جبران می کند.

سردرگمی شما از این واقعیت ناشی می شود که شما واگرایی را اندازه گیری جهت میدان می دانید (همه آنها به صورت شعاعی به بیرون اشاره می کنند) که در عوض اندازه گیری از چه رفتاری است که شار از منشأ دور می شود (مقادیر بزرگتر $ r$): ثابت اگر $ n = 0 $ ، افزایش می یابد اگر $ n2 $ باشد و به همین دلیل واگرایی 0 [شار ثابت] ، مثبت [افزایش شار] یا منفی [کاهش شار] است. تقریباواگرایی همچنین اندازه ای از میزان تولید میدان بردار نیست بلکه بیشتر از میزان شار منبع در مبدا است.