10. 6: ضریب تعیین

اگر نمودار پراکندگی مجموعه ای از جفت های ((x ، y) ) نه روند رو به بالا یا رو به پایین را نشان نمی دهد ، آنگاه خط افقی ( hat = overline ) آن را به خوبی جا می دهد ، همانطور که در شکل نشان داده شده است ( PageIndex ). فقدان هر روند رو به بالا یا نزولی به این معنی است که وقتی یک عنصر از جمعیت به طور تصادفی انتخاب می شود ، دانستن مقدار اندازه گیری (x ) برای آن عنصر در پیش بینی مقدار اندازه گیری مفید نیست (y )بشر

اگر نمودار پراکندگی روند خطی را به سمت بالا یا رو به پایین نشان دهد ، محاسبه حداقل خط رگرسیون مربع مفید است

و از آن در پیش بینی (y ) استفاده کنید. شکل ( pageindex ) این را نشان می دهد. در هر پانل ما داده های قد و وزن بخش 10. 1 را ترسیم کرده ایم. این همان طرح پراکندگی است که شکل ( pageindex ) است ، با میانگین خط ارزش ( hat = overline ) که روی آن در پانل سمت چپ قرار گرفته است و حداقل خط رگرسیون مربع که در پانل سمت راست روی آن تحمیل شده است. خطاها به صورت گرافیکی توسط بخش های خط عمودی نشان داده شده اند.

مجموع خطاهای مربع محاسبه شده برای خط رگرسیون ، (SSE ) ، از مجموع خطاهای مربع محاسبه شده برای هر خط دیگر کوچکتر است. به طور خاص کمتر از مجموع خطاهای مربع محاسبه شده با استفاده از خط ( hat = overline ) ، که جمع در واقع عدد (ss_ ) است که قبلاً چندین بار دیده ایم. اندازه گیری از استفاده از معادله رگرسیون برای پیش بینی (y ) چقدر مفید است ، این است که چقدر کوچکتر از (SSE ) از (ss_ ) است. به طور خاص ، نسبت مجموع خطاهای مربع برای خط ( hat = overline ) که با رفتن به حداقل خط رگرسیون مربع از بین می رود

[ dfrac= dfrac- dfrac= 1− dfrac]ما می توانیم از (SSE/SS_ ) به عنوان نسبت تنوع در (y ) فکر کنیم که نمی توان با رابطه خطی بین (x ) و (y ) به حساب آورد ، زیرا هنوز در آنجاست. حتی هنگامی که (x ) به بهترین شکل ممکن در نظر گرفته می شود (با استفاده از حداقل خط رگرسیون مربع ؛ به یاد داشته باشید که (SSE ) کوچکترین مقدار خطاهای مربع برای هر خط است). در این نور دیده می شود ، ضریب تعیین ، نسبت مکمل تنوع در (y ) ، نسبت تنوع در کلیه اندازه گیری های (y ) است که توسط رابطه خطی بین (x حساب می شود.) و (y ).

در زمینه رگرسیون خطی ، ضریب تعیین همیشه مربع ضریب همبستگی (R ) است که در بخش 10. 2 مورد بحث قرار گرفته است. بنابراین ضریب تعیین مشخص می شود (r^2 ) ، و ما دو فرمول اضافی برای محاسبه آن داریم.

تعریف: ضریب تعیین

ضریب تعیین مجموعه ای از جفت های ((x ، y) ) تعداد (r^2 ) است که توسط هر یک از سه عبارت زیر محاسبه می شود:

[r^2 = dfrac=dfrac>SS_>=hat_1 dfrac>]این نسبت متغیر را در (y ) اندازه گیری می کند که با رابطه خطی بین (x ) و (y ) حساب می شود.

اگر ضریب همبستگی (r ) از قبل شناخته شده باشد ، می توان ضریب تعیین را به سادگی با مربع (r ) محاسبه کرد ، همانطور که نشان می دهد ، (r^2 = (r)^2 ).

مقدار وسایل نقلیه استفاده شده از ساخت و مدل مورد بحث در "مثال 10. 4. 2" در بخش 10. 4 بسیار متفاوت است. گرانترین اتومبیل در نمونه در جدول 10. 4. 3 دارای ارزش ( 30،500 $ ) است که تقریباً نیمی از آن به اندازه کمترین هزینه است که ارزش آن را دارد ( 20،400 دلار). نسبت تنوع موجود در ارزش را که به دلیل رابطه خطی بین سن و ارزش به حساب می آید ، پیدا کنید.

راه حل :

نسبت تنوع در مقدار (y ) که با رابطه خطی بین آن و سن (x ) به حساب می آید ، با ضریب تعیین ، (r^2 ) داده می شود. از آنجا که ضریب همبستگی (R ) قبلاً در بخش 10. 4 به عنوان "مثال 10. 4. 2" محاسبه شده است

حدود (67 ٪ ) از تنوع در ارزش این وسیله نقلیه را می توان با سن آن توضیح داد.

از هر یک از سه فرمول برای ضریب تعیین برای محاسبه مقدار آن برای مثال سنین و مقادیر وسایل نقلیه استفاده کنید.

راه حل :

در "مثال 10. 4. 2" در بخش 10. 4 ما مقادیر دقیق را محاسبه کردیم

در "مثال 10. 4. 4" در بخش 10. 4 ما مقدار دقیق را محاسبه کردیم

قرار دادن این مقادیر در فرمول ها در تعریف ، یکی پس از دیگری ، می دهد

که به (0. 670 ) می رسد. اختلاف بین مقدار در اینجا و در مثال قبلی به این دلیل است که از "مثال 10. 4. 2" از مقدار گرد (R ) در آنجا استفاده شده است. مقدار واقعی (r ) قبل از گرد شدن (0. 8186864772 ) است که وقتی مربع مقدار را برای (r^2 ) بدست می آورد.

ضریب تعیین (r^2 ) همیشه با مربع ضریب همبستگی (r ) محاسبه می شود. از هر یک از فرمول های تعیین کننده نیز می توان استفاده کرد. به طور معمول می توان این انتخاب را بر اساس کدام مقادیر از قبل محاسبه کرد. آنچه باید از آن جلوگیری کرد ، تلاش برای محاسبه (r ) با گرفتن ریشه مربع (r^2 ) ، اگر قبلاً شناخته شده است ، از آنجا که به راحتی می توانید خطای علامت را از این طریق ایجاد کنید. برای دیدن آنچه می تواند اشتباه پیش برود ، فرض کنید (r^2 = 0. 64 ). گرفتن ریشه مربع یک عدد مثبت با هر دستگاه محاسبه همیشه نتیجه مثبت را برمی گرداند. ریشه مربع (0. 64 ) (0. 8 ) است. با این حال ، مقدار واقعی (r ) ممکن است عدد منفی (-0. 8 ) باشد.

• ضریب تعیین (r^2 ) نسبت تنوع در متغیر (y ) را که با رابطه خطی بین (y ) و متغیر (x ) توضیح داده می شود ، تخمین می زند.
• چندین فرمول برای محاسبه (r^2 ) وجود دارد. انتخاب کدام یک از آن می تواند بر اساس آن باشد که تاکنون مقادیر قبلاً محاسبه شده است.

همکار

• ناشناس

این صفحه با عنوان 10. 6: ضریب تعیین تحت مجوز CC BY-NC-SA 3. 0 به اشتراک گذاشته می شود و از طریق محتوای منبع که به سبک و استانداردهای پلت فرم LibreTexts ویرایش شده است ، نویسنده ، بازسازی و/یا تنظیم شده است. تاریخچه تفصیلی ویرایش در صورت درخواست در دسترس است.

1. بازگشت به بالا
2. • 10. 5: استنتاج آماری در مورد β₁
   • 10. 7: تخمین و پیش بینی

• این مقاله به شما کمک کرد؟
• آره
• No

مقالات توصیه شده

1. بخش نوع مقاله یا صفحه نویسنده مجوز ناشناس CC BY-NC-SA مجوز نسخه 3. 0 برنامه OER یا ناشر ناشر که نباید نامگذاری شود Show toc no
2. برچسب ها
   1. ضریب تعیین
   2. منبع@https: //2012books. lardbucket.org/books/begiing-matistics