10. 4 مقدمه ای برای مختصات قطبی

ما به طور کلی با استفاده از مقادیر X-Values از طریق یک عملکرد f ، با ایده منحنی های نمودار آشنا می شویم. یعنی ما y = f u2062 (x) را تنظیم می کنیم و تعداد زیادی جفت نقطه (x ، y) را ترسیم می کنیم تا مفهوم خوبی از نحوه ظاهر منحنی بدست آوریم. این روش مفید است اما محدودیت هایی دارد ، مهمترین آنها این است که منحنی هایی که "تست خط عمودی را شکست می دهند" بدون استفاده از توابع متعدد قابل استفاده نیستند.

دو بخش قبلی روش جدیدی برای ترسیم نقاط در صفحه X ، Y را معرفی و مورد مطالعه قرار دادند. با استفاده از معادلات پارامتری ، مقادیر x و y به طور مستقل محاسبه می شوند و سپس با هم ترسیم می شوند. این روش به ما امکان می دهد طیف فوق العاده ای از منحنی ها را نمودار کنیم. در این بخش روش دیگری برای ترسیم نقاط در هواپیما ارائه شده است: با استفاده از مختصات قطبی.

مختصات قطبی

† † لبه:

θ شکل 10. 4. 1: نشان دادن مختصات قطبی. λ

با یک نقطه O در هواپیما به نام قطب شروع کنید (ما همیشه این نکته را با مبدا شناسایی خواهیم کرد). از قطب ، یک پرتوی را به نام اشعه اولیه بکشید (ما همیشه این پرتوی را به صورت افقی ترسیم خواهیم کرد و آن را با x-axis مثبت شناسایی می کنیم). یک نقطه P در هواپیما با فاصله R که P از O است ، تعیین می شود ، و زاویه θ بین پرتوی اولیه و قطعه O u2062 P ¯ (اندازه گیری خلاف جهت عقربه های ساعت) تشکیل می شود. ما فاصله و زاویه را به عنوان یک جفت مرتب شده (R ، θ) ضبط می کنیم.

فیلم را تماشا کنید: مختصات قطبی - اصول اولیه از https://youtu. be/r0fv9v9ghdo

تمرین این روند را روشن تر می کند.

مثال 10. 4. 1 توطئه مختصات قطبی

مختصات قطبی زیر را ترسیم کنید:

راه حل برای کمک به نقاشی ، یک شبکه قطبی ارائه شده است

3 اینجا† † لبه:

D شکل 10. 4. 2: ترسیم نقاط قطبی در مثال 10. 4. 1. λ برای قرار دادن نقطه A ، 1 واحد را در امتداد پرتوی اولیه (قرار دادن شما روی دایره داخلی نشان داده شده در شبکه) بروید ، سپس رادیان ضد خلاف جهت عقربه های ساعت (یا 45 ∘) بچرخانید. از طرف دیگر ، ابتدا می توان چرخش را در نظر گرفت: در مورد پرتوهای O که زاویه π / 4 را با پرتوی اولیه تشکیل می دهد ، فکر کنید ، سپس 1 واحد را در امتداد این پرتو حرکت دهید (دوباره شما را در دایره داخلی شبکه قرار دهید).

برای ترسیم B ، 1. 5 واحد را در امتداد پرتوی اولیه بیرون بروید و رادیان π (180 ∘) را بچرخانید.

برای ترسیم C ، 2 واحد در امتداد پرتوی اولیه بیرون بروید و سپس رادیان π / 3 در جهت عقربه های ساعت بچرخانید ، زیرا زاویه داده شده منفی است.

برای ترسیم D ، در امتداد واحدهای پرتوی اولیه " - 1" حرکت کنید - به عبارت دیگر ، "پشتیبان گیری" 1 واحد ، سپس با π / 4 خلاف جهت عقربه های ساعت را بچرخانید. نتایج در شکل 10. 4. 2 آورده شده است.

دو نکته زیر را در نظر بگیرید: A u2062 (1 ، π) و B u2062 ( - 1 ، 0). برای یافتن A ، 1 واحد را روی پرتوی اولیه بیرون بروید و Radians π را بچرخانید. برای یافتن B ، به بیرون بروید - 1 واحد در پرتوی اولیه و چرخش نکنید. باید دید که A و B در همان نقطه در هواپیما قرار دارند. ما همچنین می توانیم C u2062 (1 ، 3 u2062 π) یا D u2062 (1 ، - π) را در نظر بگیریم. هر چهار امتیاز از این مکان یکسان هستند.

این توانایی برای شناسایی یک نقطه در هواپیما با مختصات چند قطبی هم "نعمت" و هم "نفرین" است. خواهیم دید که مفید است زیرا می توانیم عملکردهای زیبایی را که از خود تقاطع می کنند ترسیم کنیم (دقیقاً مانند آنچه با عملکردهای پارامتری دیدیم). بخش ناگوار این امر این است که تعیین زمان این اتفاق دشوار است. ما بعداً در این بخش این موضوع را بررسی خواهیم کرد.

تبدیل قطبی به مستطیل

† † لبه:

شکل 10. 4. 3: تبدیل بین مختصات مستطیل و قطبی. λ

تشخیص هم مختصات مستطیل (یا ، دکارتی) یک نقطه در هواپیما و مختصات قطبی آن مفید است. شکل 10. 4. 3 یک نقطه P در هواپیما با مختصات مستطیل (x ، y) و مختصات قطبی (r ، θ) را نشان می دهد. با استفاده از مثلثات ، می توانیم هویت های ارائه شده در ایده اصلی زیر را ایجاد کنیم.

ایده اصلی 10. 4. 1 تبدیل بین مختصات مستطیل و قطبی

با توجه به نقطه قطبی P u2062 (R ، θ) ، مختصات مستطیل شکل توسط تعیین می شود

با توجه به مختصات مستطیل شکل (x ، y) ، مختصات قطبی توسط تعیین می شوند

مثال 10. 4. 2 تبدیل بین مختصات قطبی و مستطیل شکل

(الف) مختصات قطبی A u2062 (2 ، 2 u2062 π / 3) و B u2062 ( - 1 ، 5 u2062 π / 4) را به مختصات مستطیل تبدیل کنید.(ب) مختصات مستطیل (1 ، 2) و ( - 1 ، 1) را به مختصات قطبی تبدیل کنید.

ما با یک u2062 (2 ، 2 u2062 π / 3) شروع می کنیم. با استفاده از ایده اصلی 10. 4. 1 ، ما داریم

بنابراین مختصات مستطیل شکل ( - 1 ، 3) ≈ ( - 1 ، 1. 732) هستند. نقطه قطبی B u2062 ( - 1 ، 5 u2062 π / 4) با مستطیل با:

بنابراین مختصات مستطیل شکل (2 /2 ، 2 /2) ≈ (0. 707 ، 0. 707) هستند.

این نقاط در شکل 10. 4. 4 (الف) ترسیم شده است. سیستم مختصات مستطیل شکل زیر سیستم مختصات قطبی به آرامی کشیده می شود تا رابطه بین این دو مشاهده شود.† † لبه:

B u2062 ( - 1 ، 5 u2062 π 4) (الف)

1. 11 (ب) شکل 10. 4. 4: ترسیم نقاط مستطیل و قطبی در مثال 10. 4. 2. λ

برای تبدیل نقطه مستطیل (1 ، 2) به مختصات قطبی ، ما از ایده اصلی برای تشکیل دو معادله زیر استفاده می کنیم:

معادله اول به ما می گوید که r = 5. با استفاده از عملکرد مماس معکوس ، ما پیدا می کنیم

بنابراین مختصات قطبی (1 ، 2) (5 ، 1. 11) هستند. برای تبدیل ( - 1 ، 1) به مختصات قطبی ، معادلات را تشکیل می دهیم

بنابراین r = 2. ما باید در محاسبات θ مراقب باشیم: با استفاده از عملکرد مماس معکوس ، ما داریم

این زاویه ای نیست که ما می خواهیم. دامنه برنزه - 1 u2061 x ( - π / 2 ، π / 2) ؛یعنی زاویه هایی را که در ربع های 1 و 4 قرار دارد ، برمی گرداند. برای یافتن مکان هایی در ربع های 2 و 3 RD ، π را به نتیجه برنزه اضافه کنید - 1 u2061 x. بنابراین π + ( - π / 4) زاویه را در 3 u2062 π / 4 قرار می دهد. بنابراین نقطه قطبی (2 ، 3 u2062 π / 4) است. یک روش جایگزین استفاده از زاویه θ داده شده توسط Arctangent است ، اما علامت r را تغییر می دهد. بنابراین می توانیم به ( - 1 ، 1) به عنوان ( - 2 ، - π / 4) مراجعه کنیم.

این نقاط در شکل 10. 4. 4 (ب) ترسیم شده است. سیستم قطبی به آرامی زیر شبکه مستطیل شکل با اشعه کشیده می شود تا زاویه های مورد استفاده را نشان دهد.

توابع قطبی و نمودارهای قطبی

تعریف یک سیستم مختصات جدید به ما امکان می دهد نوع جدیدی از عملکرد ، یک عملکرد قطبی ایجاد کنیم. مختصات مستطیل شکل خود را به خوبی به ایجاد توابعی که مربوط به x و y مانند y = x 2 است ، قرض داده اند. مختصات قطبی به ما امکان می دهد توابعی را ایجاد کنیم که مربوط به r و θ باشد. به طور معمول این توابع مانند r = f u2062 (θ) به نظر می رسند ، اگرچه می توانیم توابع فرم θ = f u2062 (r) را ایجاد کنیم. مثالهای زیر ما را با این مفهوم آشنا می کند.

مثال 10. 4. 3 مقدمه ای برای گرافیک عملکردهای قطبی

نمودارهای توابع قطبی زیر را شرح دهید.

r = 1. 5 θ = π / 4

معادله r = 1. 5 تمام نقاط 1. 5 واحد از قطب را توصیف می کند. از آنجا که زاویه مشخص نشده است ، هر θ مجاز است. تمام نقاط 1. 5 واحد از قطب دایره ای از شعاع 1. 5 را توصیف می کند.

ما می توانیم معادل مستطیل این معادله را در نظر بگیریم. با استفاده از r 2 = x 2 + y 2 ، می بینیم که 1. 5 2 = x 2 + y 2 ، که ما به عنوان معادله یک دایره با محوریت (0 ، 0) با شعاع 1. 5 تشخیص می دهیم. این در شکل 10. 4. 5 ترسیم شده است.

† † لبه:

معادله θ = π / 4 تمام نقاط را توصیف می کند به گونه ای که خط از طریق آنها و قطب زاویه π / 4 را با پرتوی اولیه ایجاد می کند. از آنجا که شعاع R مشخص نشده است ، می تواند هر مقدار (حتی منفی) باشد. بنابراین θ = π / 4 خط را از طریق قطب توصیف می کند که زاویه π / 4 = 45 ∘ را با پرتوی اولیه ایجاد می کند.

ما دوباره می توانیم معادل مستطیل این معادله را در نظر بگیریم. برنزه u2061 θ = y / x و θ = π / 4 را ترکیب کنید:

این نمودار همچنین در شکل 10. 4. 5 ترسیم شده است.

معادلات مستطیل اصلی فرم x = h و y = k به ترتیب خطوط عمودی و افقی ایجاد می کنند. معادلات قطبی اصلی r = h و θ = α به ترتیب حلقه ها و خطوط را از طریق قطب ایجاد می کنند. با این کار به عنوان یک پایه ، می توانیم عملکردهای قطبی پیچیده تری از فرم r = f u2062 (θ) ایجاد کنیم. ورودی یک زاویه است. خروجی یک طول است ، تا چه حد در جهت زاویه بیرون رفتن.

ما این توابع را دقیقاً مثل اینکه توابع مستطیل و پارامتری را ترسیم می کنیم ، ترسیم می کنیم: ما نقاط زیادی را ترسیم می کنیم و "نقاط را وصل می کنیم" با منحنی ها. ما این را در مثال زیر نشان می دهیم.

مثال 10. 4. 4 طراحی توابع قطبی

طرح † † حاشیه: θ r = 1 + cos u2061 θ 0 2 π / 6 1 + 3 /2 π / 4 1 + 1 /2 π / 3 3/2 π / 2 1 2 u2062 π / 3 1/2 3 3u2062 π / 4 1 - 1 /2 5 u2062 π / 6 1 - 3 /2 π 0 7 u2062 π / 6 1 - 3/2 5 u2062 π / 4 1 - 1 /2 4 u2062 π / 3 1 /2 3u2062 π / 2 1 5 u2062 π / 3 3/2 7 u2062 π / 4 1 + 1 /2 11 u2062 π / 6 1 + 3 /2

7 u2062 π / 4 شکل 10. 4. 6: نمودار عملکرد قطبی در مثال 10. 4. 4 با ترسیم نقاط. λ عملکرد قطبی r = 1 + cos u2061 θ θ on on [0 ، 2 u2062 π] با ترسیم نقاط.

راه حل یک سؤال مشترک هنگام طراحی منحنی ها با ترسیم نقاط انتخاب شده "کدام نقاط را باید ترسیم کنم؟"با معادلات مستطیل شکل ، ما اغلب مقادیر "آسان" را انتخاب می کردیم - عدد صحیح ، سپس در صورت لزوم اضافه می کنیم. هنگام ترسیم معادلات قطبی ، با زاویه های "مشترک" شروع کنید - چند برابر π / 6 و π / 4. شکل 10. 4. 6 جدول فقط چند مقدار θ در [0 ، π] را نشان می دهد.

نکته (2 ، 0) را که توسط خط اول جدول تعیین شده است در نظر بگیرید. زاویه 0 رادیان است - ما از پرتوی اولیه نمی چرخیم - سپس 2 واحد از قطب بیرون می رویم. هنگامی که θ = π / 6 ، r = 1 + 3 /2 ؛بنابراین با رادیان π / 6 بچرخید و 1 + 3 /2 واحد بیرون بروید.

مثال 10. 4. 5 توابع قطبی طراحی

با ترسیم نقاط ، عملکرد قطبی r = cos u2061 (2 u2062 θ) را روی [0 ، 2 u2062 π] ترسیم کنید.

راه حل ما با تهیه یک جدول از cos u2061 (2 u2062 θ) که در زاویه های مشترک θ ارزیابی می شود ، شروع می کنیم ، همانطور که در شکل 10. 4. 7 نشان داده شده است. سپس این نقاط در شکل 10. 4. 8 ترسیم شده است. این نمودار خاص کاملاً کمی حرکت می کند و می توان به راحتی فراموش کرد که کدام نقاط باید به یکدیگر وصل شوند. برای کمک به ما در این مورد ، هر نقطه از جدول و روی نمودار را شماره گذاری کردیم.

ptθ cos u2061 (2 u2062 θ) pt. θ cos u2061 (2 u2062 θ) 1 0 1 10 7 u2062 π / 6 0. 5 2 π / 6 0. 5 11 5 u2062 π / 4 0 3 π / 4 0 12 4 u2062 π / 3 - 0. 5 4 π / 3 - 0. 5 133 u2062 π / 2 - 1 5 π / 2 - 1 14 5 u2062 π / 3 - 0. 5 6 2 u2062 π / 3 - 0. 5 15 7 u2062 π / 4 0 7 3 u2062 π / 4 0 16 11 u2062 π / 6 0. 58 5 u2062 π / 6 0. 5 17 2 u2062 π 1 9 π 1

شکل 10. 4. 7: جداول نقاط برای ترسیم یک منحنی قطبی.† † لبه:

شکل 10. 4. 8: توطئه های قطبی از مثال 10. 4. 5. λ

این طرح نمونه ای از منحنی گل رز است.

گاهی اوقات مطلوب است که از طریق یک معادله قطبی و سایر اوقات توسط یک معادله مستطیل به یک نمودار مراجعه کنید. بنابراین لازم است که بتوانیم بین عملکردهای قطبی و مستطیل شکل بگیریم ، که در مثال زیر تمرین می کنیم. ما از هویت های موجود در ایده کلیدی 10. 4. 1 استفاده مکرر خواهیم کرد.

مثال 10. 4. 6 تبدیل بین معادلات مستطیل و قطبی.

از مستطیل به قطبی تبدیل کنید.

y = x 2 x u2062 y = 1

از قطبی به مستطیل تبدیل کنید.

r = 2 sin u2061 θ - cos u2061 θ r = 2 u2062 cos u2061 θ y را با r u2062 sin u2061 θ جایگزین کنید و x را با r u2062 cos u2061 θ جایگزین کنید ، با دادن:

ما دریافتیم که r = sin u2061 θ / cos 2 u2061 θ = برنزه u2061 θ u2062 sec u2061 θ. دامنه این عملکرد قطبی ( - π / 2 ، π / 2) است. چند نکته را ترسیم کنید تا ببینید که چگونه پارابولا آشنا توسط معادله قطبی ردیابی می شود. ما دوباره با استفاده از هویت های استاندارد دوباره جایگزین X و Y می شویم و برای حل R:

† † لبه:

x y شکل 10. 4. 9: نمودار x u2062 y = 1 از مثال 10. 4. 6. λ این عملکرد فقط زمانی معتبر است که محصول cos u2061 θ u2062 sin u2061 θ مثبت باشد. این در ربع های اول و سوم رخ می دهد ، به این معنی که دامنه این عملکرد قطبی (0 ، π / 2) ∪ (π ، 3 u2062 π / 2) است. ما می توانیم معادله مستطیل شکل اصلی x u2062 y = 1 را به عنوان y = 1 / x بازنویسی کنیم. این در شکل 10. 4. 9 نمودار شده است. توجه داشته باشید که چگونه فقط در ربع های اول و سوم وجود دارد.

هیچ راهی مشخص برای تبدیل از قطبی به مستطیل وجود ندارد. به طور کلی ، ما به دنبال تشکیل محصولات r u2062 cos u2061 θ θ و r u2062 sin u2061 θ هستیم و سپس این موارد را به ترتیب با x و y جایگزین می کنیم. ما در این مشکل با ضرب هر دو طرف توسط SIN u2061 θ - cos u2061 θ شروع می کنیم:

معادله قطبی اصلی ، r = 2 / (sin u2061 θ - cos u2061 θ) به راحتی نشان نمی دهد که نمودار آن به سادگی یک خط است. با این حال ، تبدیل ما نشان می دهد که اینگونه است. گالری آینده منحنی های قطبی معادلات کلی خطوط را به شکل قطبی ارائه می دهد. با ضرب هر دو طرف توسط R ، ما یک اصطلاح R 2 و یک اصطلاح r u2062 cos u2061 θ را به دست می آوریم ، که به ترتیب با x 2 + y 2 و x جایگزین می شویم.

این دایره در (1 ، 0) محور است و شعاع 1. گالری آینده منحنی های قطبی معادلات برخی دایره ها را به شکل قطبی می دهد. محافل با مراکز دلخواه دارای معادله قطبی پیچیده ای هستند که ما در اینجا در نظر نمی گیریم.

برخی از منحنی ها دارای معادلات قطبی بسیار ساده اما مستطیل شکل پیچیده هستند. به عنوان مثال ، معادله r = 1 + cos u2061 θ یک قلبی را توصیف می کند (شکلی که برای حساسیت میکروفون ها مهم است ، از جمله موارد دیگر ؛ یکی در گالری در بخش Limaçon). شکل مستطیل آن تقریباً ساده نیست. این معادله ضمنی x 4 + y 4 + 2 u2062 x 2 u2062 y 2 - 2 u2062 x u2062 y 2 - 2 u2062 x 3 - y 2 = 0 است. تبدیل "سخت" نیست ، اما چندین قدم برداشته می شود و به عنوان یک تمرین باقی می ماند.

گالری منحنی های قطبی

تعدادی منحنی قطبی اساسی و "کلاسیک" وجود دارد که به دلیل زیبایی و/یا کاربرد آنها در علوم مشهور است. این بخش با یک گالری کوچک از برخی از این نمودارها به پایان می رسد. ما خواننده را ترغیب می کنیم تا درک کند که چگونه این نمودارها شکل می گیرد و با استفاده از فناوری انواع دیگر عملکردهای قطبی تحقیق می کند.

r = b sin u2061 θ - m u2062 cos u2061 θ

(x - a 2) 2 + y 2 = a 2 4

x 2 + (y - a 2) 2 = a 2 4

r = a u2062 cos u2061 (2 u2062 θ)

r = a u2062 sin u2061 (2 u2062 θ)

r = a u2062 cos u2061 (3 u2062 θ)

r = a u2062 sin u2061 (3 u2062 θ)

r = a u2062 sin u2061 (θ / 5)

r = a u2062 sin u2061 (2 u2062 θ / 5)

r 2 = a 2 u2062 cos u2061 (2 u2062 θ)

r 2 = a 2 u2062 sec 4 u2061 θ u2062 cos u2061 (2 u2062 θ)

پیش از این بحث کردیم که چگونه هر نقطه از هواپیما نمایشی منحصر به فرد به شکل قطبی ندارد. این می تواند یک چیز "خوب" باشد ، زیرا این امکان را برای منحنی های زیبا و جالب مشاهده می کند که در گالری قبلی دیده می شود. با این حال ، این همچنین می تواند یک چیز "بد" باشد ، زیرا تعیین اینکه در آن دو منحنی از هم عبور می کنند دشوار است.

مثال 10. 4. 7 یافتن نقاط تقاطع با منحنی های قطبی

تعیین کنید که نمودارهای معادلات قطبی r = 1 + 3 u2062 cos u2061 θ و r = cos u2061 θ تقاطع.

راه حل به عنوان فناوری به طور کلی به راحتی در دسترس است ، معمولاً ایده خوبی است که با یک نمودار شروع کنید. ما دو عملکرد را در شکل 10. 4. 10 (a) ترسیم کرده ایم. برای تشخیص بهتر نقاط تقاطع ، قسمت (ب) شکل شکل در اطراف منشأ.† † لبه:

0 π / 2 (b) شکل 10. 4. 10: نمودارهایی برای تعیین نقاط تقاطع توابع قطبی ارائه شده در مثال 10. 4. 7. λ ما با تنظیم دو کارکرد برابر با یکدیگر و حل برای θ شروع می کنیم:

(البته راه حل های نامتناهی برای معادله COS u2061 θ θ = - 1/2 وجود دارد ؛ همانطور که لیماون یک بار در [0 ، 2 u2062 π] ردیابی می شود ، ما راه حل های خود را به این بازه محدود می کنیم.)

ما باید این راه حل را تحلیل کنیم. هنگامی که θ = 2 u2062 π / 3 نقطه تقاطع را که در ربع چهارم قرار دارد ، بدست می آوریم. هنگامی که θ = 4 u2062 π / 3 ، نقطه تقاطع را که در ربع 1 ST قرار دارد ، می گیریم. در مورد این نقطه تقاطع دوم حرفهای بیشتری برای گفتن وجود دارد. دایره تعریف شده توسط r = cos u2061 θ یک بار در [0 ، π] ردیابی می شود ، به این معنی که این نقطه از تقاطع هنگام ردیابی دایره بار دوم رخ می دهد. به نظر می رسد که یک بار از این نقطه عبور کنید و سپس آن را به عنوان نقطه تقاطع فقط هنگام ورود به آنجا "بار دوم" تشخیص دهید. اولین باری که دایره در این نقطه می رسد زمانی است که θ = π / 3. درک این نکته مهم است که این دو نکته یکسان هستند: (cos u2061 π / 3 ، π / 3) و (cos u2061 4 u2062 π / 3 ، 4 u2062 π / 3).

به طور خلاصه کارهایی که تاکنون انجام داده ایم ، دو نقطه تقاطع را پیدا کرده ایم: وقتی θ = 2 u2062 π / 3 و وقتی θ = 4 u2062 π / 3. هنگام مراجعه به دایره r = cos u2061 θ ، نکته دوم بهتر است به عنوان θ = π / 3 ارجاع شود.

یک نقطه دیگر از تقاطع وجود دارد: قطب (یا مبدا). ما این نقطه تقاطع را با استفاده از کار خود در بالا تشخیص ندادیم زیرا هر نمودار با مقدار θ متفاوت به قطب می رسد.

یک نمودار در هنگام R = 0 از قطب عبور می کند. با توجه به دایره r = cos u2061 θ ، r = 0 هنگامی که θ = π / 2 (و چند برابر عجیب آن ، به عنوان دایره به طور مکرر ردیابی می شود). Limaçon هنگامی که 1 + 3 u2062 cos u2061 θ = 0 ؛این زمانی اتفاق می افتد که cos u2061 θ = - 1/3 ، یا برای θ = cos - 1 u2061 ( - 1 /3). این یک زاویه غیر استاندارد ، تقریباً θ = 1. 9106 u2062 رادیان 109. 47 ∘ است. لیماون دو بار در [0 ، 2 u2062 π] قطب را تقاطع می کند. زاویه دیگری که در آن لیماون در قطب قرار دارد ، بازتاب اولین زاویه در سراسر x-axis است. یعنی θ = 4. 3726 ≈ 250. 53.

اگر همه به همه مربوط به مختصات (x ، y) باشد که در آن نمودارها از هم عبور می کنند ، بخش اعظم کارهای فوق بی حسی است. ما می دانیم که آنها در (0 ، 0) تلاقی می کنند. ما ممکن است به چه مقدار θ اهمیت ندهیم. به همین ترتیب ، با استفاده از θ = 2 u2062 π / 3 و θ = 4 u2062 π / 3 می تواند مختصات مستطیل مورد نیاز را به ما بدهد. با این حال ، در بخش بعدی ما مفاهیم حساب را در توابع قطبی اعمال می کنیم. هنگام محاسبه مساحت منطقه ای که توسط منحنی های قطبی محدود شده است ، درک تفاوت های ظریف نقاط تقاطع مهم می شود.