منحنی قطبی

Nie Wieder Prokastinieren MIT Unseren Leerinnerungen.

آیا تا به حال از نزدیک به یک آفتابگردان نگاه کرده اید؟منحنی هایی که می بینید در حال عبور از یکدیگر در یک آفتابگردان در واقع در مارپیچ های لگاریتمی ، نوعی منحنی قطبی قرار گرفته اند. 1

شکل 1. دانه های آفتابگردان که در مارپیچ های لگاریتمی ترتیب داده شده اند - Pixabay

سایر پدیده های طبیعی با اشکال که می توان با استفاده از مارپیچ های لگاریتمی توصیف کرد شامل پوسته های Nautilus و حتی برخی از کهکشان ها است.

شکل 2. یک کهکشان تقریباً مانند یک مارپیچ لگاریتمی - Pixabay -

در این مقاله منحنی های قطبی ، از جمله نمونه های مهم منحنی های قطبی ، برخی از تقارن آنها و نحوه نمودار کردن آنها معرفی خواهد شد.

فرمول منحنی قطبی

ممکن است از شما برای نوشتن توابع به صورت استفاده شود

جایی که رابطه بین (x ) و (y ) منجر به منحنی در هواپیما می شود. هنگامی که یک تابع از نظر (x ) و (y ) نوشته شده است ، می گوییم که در مختصات دکارتی نوشته شده است ، همچنین به عنوان مختصات مستطیل شناخته می شود.

از طرف دیگر ، منحنی های قطبی منحنی هایی هستند که از نظر مختصات قطبی (r ) و ( theta. ) نوشته شده اند تا مختصات قطبی را بهتر توصیف کنند ، یک نقطه را در هواپیما در نظر بگیرید.

تصویر 1. یک نقطه در هواپیما

بعد ، بخشی را ترسیم کنید که از مبدا به آن نقطه می رود.

تصویر 2. بخشی که منشأ و نقطه در هواپیما را به هم وصل می کند

مختصات قطبی موقعیت یک نقطه در هواپیما را از نظر (r ) و ( theta ، ) توصیف می کنند

فاصله از مبدا تا یک نقطه در هواپیما (طول قطعه نشان داده شده در نمودار) ، و

زاویه بین محور مثبت (x-) و خطی است که منشأ را به نقطه متصل می کند.

تصویر 3. نمایش گرافیکی مختصات قطبی.

روش دیگر برای توصیف مختصات قطبی از طریق معادلات است ،

منحنی قطبی تابعی است که از نظر مختصات قطبی شرح داده شده است ، که می تواند به طور کلی بیان شود

لطفاً توجه داشته باشید که توابع شرح داده شده توسط مختصات قطبی معمولاً از آزمون خط عمودی عبور نمی کنند. آزمون خط عمودی فقط مربوط به توابعی است که به صورت (y = f (x) ) نوشته شده اند!

منحنی قطبی را تعریف می کند. نمودار آن به نظر می رسد ،

شکل 3. منحنی گل رز

شما می توانید منحنی فوق را به عنوان مجموعه ای از همه جفت ها ((r ، theta) ) که معادله را برآورده می کند ، مشاهده کنید

برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد مختصات قطبی ، آنها و نحوه تبدیل بین مختصات قطبی و مستطیل ، به مقالات ما در مورد مختصات قطبی و عملکردهای استخراج شده در مختصات قطبی مراجعه کنید.

انواع منحنی های قطبی

برخی از انواع منحنی ها می توانند به طور طبیعی در مختصات قطبی نسبت به مختصات مستطیل شکل بیان شوند. شش کلاس مهم چنین منحنی ها هستند ،

• لیما
• قلبی
• منحنی های گل رز
• مارپیچ های Archimedean
• مارپیچ های لگاریتمی
• لومن

لیما

یک لیماون منحنی قطبی است که توسط معادله تعریف شده است

جایی که (a ) و (b ) ثابت هستند. سه نوع لیما وجود دارد ،

• حلقه (Limaçons که در آن (a
• کاردیوئیدها (Limaçons که در آن (a = b )) ،
• Dimpled (limaçons where ( a>ب )).

حلقه لیماون

به عنوان مثال ، لیماون تعریف شده توسط

یک لیماون حلقه دار است زیرا (2<3. ) Here is its graph.

شکل 4. یک لیماون حلقه دار

کم رنگ لیماون

به عنوان نمونه دیگر ، منحنی

is a dimpled limaçon because ( 4>1. ) به نظر می رسد این ،

شکل 5. یک لیماون کم رنگ

توجه داشته باشید که لیمائون های تعریف شده با استفاده از کوزین در مورد محور افقی متقارن هستند ، در حالی که لیمائون های تعریف شده با استفاده از سینوسی در مورد محور عمودی متقارن هستند.

Limaçon مطمئناً یک نام عجیب است ، اینطور نیست؟دلیلی برای استفاده از این نام وجود دارد!

نام لیماسون ، ترجمه شده از فرانسوی ، به معنای واقعی کلمه به معنای "حلزون" است. این نام از انواع خاصی از لیمونها تهیه شده است که شبیه پوسته های حلزون هستند.

قلبی

کاردیوئیدها نمونه های ویژه ای از لیمائون ها هستند که به شکل قلبی مانند آنها نامگذاری شده اند. معادله یک قلبی است

جایی که (A ) ثابت است. به عنوان مثال ، قلبی

[1- cos ] به نظر می رسد ،

شکل 6. یک قلبی

منحنی های گل رز

منحنی های گل رز منحنی های قطبی هستند که توسط Guido Grandi ، ریاضیدان ایتالیایی که در اوایل دهه 1700 آنها را مطالعه کرده بود ، نامگذاری شده اند. آنها با معادلات فرم تعریف می شوند

جایی که (a ) ثابت است که اندازه گل را تعیین می کند و (n ) ثابت است که تعداد و قرارگیری گلبرگ ها را تعیین می کند. به عنوان مثال ، منحنی گل رز

به نظر می رسد ، 3

شکل 7. یک منحنی گل رز با استفاده از عملکرد Cosine

در همین حال ، منحنی گل رز

به نظر می رسد این ،

شکل 8. منحنی گل رز با استفاده از عملکرد سینوسی تعریف شده است

هر دو گل رز یکسان است گلبرگ. این امر به این دلیل است که (n ) در هر دو معادله روی 9 تنظیم شده است. با این حال ، یک گل رز توسط یک عامل 3 اندازه گیری می شود ، مطابق با این واقعیت که دارای (A = 3. ) است همچنین می توانید توجه داشته باشید که یک گل رز با توجه به دیگری چرخانده شده است ، که مربوط به این واقعیت است که یکی استاز نظر عملکرد سینوسی تعریف شده است ، در حالی که دیگری با استفاده از عملکرد Cosine نوشته شده است.

مقدار (n ) نیازی به یک عدد صحیح ندارد. به عنوان مثال ، منحنی گل رز

به نظر می رسد این ،

شکل 9. یک منحنی گل رز با مقدار غیر پیرزن (n )

منحنی های گل رز با مقادیر غیر منطقی برای (n ) (مانند ( pi ) ، به عنوان مثال) می تواند به ویژه جالب باشد زیرا آنها هرگز در واقع کامل نیستند. با توجه به یک منحنی گل رز غیر منطقی (f ) و یک نقطه دلخواه (p ) در دیسک حاوی (f ) ، مهم نیست که چقدر به (p ) نزدیک شوید ، نقطه ای از (f وجود دارد.) نزدیک به (P ) از شما. (f ) نمونه ای از یک مجموعه متراکم است. مثال دیگر مجموعه اعداد منطقی در خط واقعی است.

مارپیچ های Archimedean

یک مارپیچ Archimedean یک منحنی قطبی است که توسط معادله تعریف شده است

یک نسخه کلی از مارپیچ Archimedean وجود دارد ، به نام Neoid ، که توسط معادله تعریف شده است

جایی که (a ) و (b ) ثابت هستند. ثابت (a ) مقدار منحنی را در ( theta = 0 ) تعیین می کند (محور مثبت (x-)) و (b ) مطابق با اندازه مارپیچ است.

مارپیچ های Archimidean دارای خاصیت دیگری هستند ، زیرا فاصله جدایی ثابت بین بخش های متوالی مارپیچ وجود دارد که برابر با (2 pi b ) است. به عنوان مثال ، نئوید

به نظر می رسد ، 4

شکل 10. یک نوئید توصیف شده توسط (r = 1 + 3 theta )

مارپیچ های Archimedean منحنی های قطبی هستند که به نام ریاضیدان باستان یونان Archimedes نامگذاری شده اند. Archimedes در مورد این منحنی ها و کاربردهای آنها یک کتاب کامل در مورد مارپیچ ها نوشت.

مارپیچ های لگاریتمی

نوع مهم دیگر مارپیچ مارپیچ لگاریتمی است. مارپیچ های لگاریتمی منحنی های قطبی هستند که توسط معادله تعریف می شوند

جایی که (a ) و (b ) ثابت هستند. مارپیچ های لگاریتمی نام خود را از این واقعیت دریافت می کنند که می توانید ( theta ) را جدا کنید و آن را از نظر لگاریتم طبیعی (r. ) بنویسید

به عنوان مثال ، مارپیچ لگاریتمی

به نظر می رسد این ،

شکل 11. یک مارپیچ لگاریتمی

مارپیچ لگاریتمی همچنین Spira Mirabilis نامیده می شود ، که به معنای "مارپیچ معجزه آسا" در لاتین است.

بیس های کاسینی

تخمدان های کاسینی منحنی های قطبی هستند که در سال 1680 توسط Giovanni Domenico Cassini کشف شده است. آنها توسط معادله تعریف می شوند

جایی که (a ) و (b ) ثابت هستند. نسبت (a ) به (b ) شکل بیضی کاسینی را به شرح زیر تعیین می کند ،

• If (frac>1 ) ، بیضی 1 حلقه دارد ،
• اگر ( frac<1), the oval has 2 separate loops,
• اگر ( frac = 1 ) ، منجر به یک لومن شود.

به عنوان مثال ، بیضی کاسینی

به نظر می رسد ، 4

شکل 12. یک بیضی کاسینی

لومن

Lemniscates انواع ویژه ای از تخمدان های کاسینی است که شبیه به شکل هشت است. Lemniscates توسط معادله تعریف می شود

[r^2 = a^2 cos<left( 2 heta ight)>، ] جایی که (a ) ثابت است. این منحنی ها با تنظیم (a = b ) در معادله برای یک بیضی کاسینی بدست می آیند. به عنوان مثال ، Lemniscate

به نظر می رسد این ،

شکل 13. با استفاده از عملکرد Cosine یک لومیسک

Lemniscates تعریف شده از نظر SINE با مواردی که از نظر کسین تعریف شده اند ، یکسان هستند ، که فقط 45 درجه چرخانده شده است.

شکل 14. با استفاده از عملکرد سینو

منحنی های قطبی در برخی از مکان های جالب و شاید غیر منتظره ظاهر می شوند. به عنوان مثال ، شما ممکن است از مجموعه Mandelbrot شنیده باشید. مجموعه Mandelbrot نمونه ای از یک فراکتال است ، شکلی که حاوی نسخه هایی از خود در مقیاس های مختلف است.

مجموعه Mandelbrot شامل چندین منحنی است که ما در مورد آنها صحبت کرده ایم. به عنوان مثال ، لامپ اصلی مجموعه به شکل یک قلبی است. 5

شکل 15. مرز بخشی از مجموعه Mandelbrot

با بزرگنمایی به لبه مجموعه ، می توانید مارپیچ های لگاریتمی را مشاهده کنید. 5

شکل 16. مارپیچ های لگاریتمی را می توان در مجموعه Mandelbrot یافت

مرز مجموعه Mandelbrot ، در حالی که بسیار پیچیده است ، در واقع با استفاده از دنباله ای از لومن ها می تواند ساخته شود.

تقارن منحنی های قطبی

منحنی های قطبی غالباً دارای تقارن هستند که می توانید در هنگام گرافیک آنها و مطالعه خواص آنها از آنها استفاده کنید. معمولاً در هنگام برخورد با منحنی های قطبی ، سه تقارن وجود دارد ،

جدول زیر تقارن های مختلف و نحوه جستجوی آنها را خلاصه می کند. 6

نام محور تقارن تست

تقارن در مورد محور قطبی

تقارن در مورد محور قطبی همان تقارن در مورد خط ( theta = pi ، ) محور افقی است. اگر بتوانید نمودار را در مورد محور افقی بچرخانید و همان نمودار را که با آن شروع کرده اید برگردید. به طور معادل ، این بدان معنی است که اگر نقطه (r ، theta) ) روی منحنی قطبی باشد ، سپس نقطه ((r ،- theta) ) به دست آمده با تلنگر ((r ، theta) ) در اطراف محور افقی نیز روی منحنی است.

چند آزمایش وجود دارد که می توانید از آنها استفاده کنید تا بررسی کنید که آیا یک منحنی در مورد محور قطبی متقارن است یا خیر. اگر معادله ای برای منحنی قطبی به شما داده شده است و می توانید هر نمونه از ( theta ) را با ( - theta ، ) جایگزین کنید و به همان معادله برگردید ، پس منحنی در مورد محور قطبی متقارن است. این همان بررسی است که آیا با توجه به یک نقطه ((r ، theta) ) روی منحنی ، نقطه ((r ،- theta) ) نیز روی منحنی قطبی است.

آزمایش دیگری که می توانید امتحان کنید این است که (r ) را با (-r ) و ( theta ) با ( pi - theta. ) این تست انجام دهید زیرا نقطه ((-r ، pi- theta) ) همان نقطه ((r ،- theta) ، ) است که فقط کمی متفاوت نشان داده شده است.

منحنی گل رز را بررسی کنید

برای تقارن در مورد محور قطبی.

راه حل

با ( theta ) توسط ( - theta. ) شروع کنید

عملکرد Cosine دارای خاصیت است

برای هر مقدار ( theta ، ) بنابراین

از آنجا که این همان معادله ای است که شما با آن شروع کرده اید ، این آزمایش موفق می شود. بنابراین ، این منحنی گل رز در مورد محور قطبی متقارن است.

شکل 17. منحنی گل رز با تقارن در مورد محور قطبی

اگر یک منحنی قطبی از آزمایش تقارن عبور کند ، قطعاً آن تقارن را دارد. با این حال ، حتی اگر یک منحنی قطبی تمام تست های تقارن را که امتحان می کنید ، شکست دهد ، ممکن است هنوز هم آن تقارن را داشته باشد. این از این واقعیت ناشی می شود که منحنی های قطبی دارای بازنمایی های جبری معادل بسیاری هستند ، و ممکن است شما همیشه نتوانید فقط با نگاه کردن به دو معادله بگویید که آیا آنها همان منحنی را توصیف می کنند.

تقارن درباره قطب

اگر یک منحنی قطبی در مورد قطب متقارن است ، سپس آن را در مورد خط می چرخاند

نمودار خود را تغییر نمی دهد. به طور برابر ، یک منحنی قطبی در مورد قطب متقارن است اگر برای هر نقطه ((r ، theta) ) روی منحنی ، نقطه ((-r ، theta) ) نیز روی منحنی است. برای آزمایش تقارن در مورد قطب ، می توانید (r ) را با (-r ) جایگزین کنید و ببینید که آیا به همان معادله بازگردید. همچنین می توانید جایگزین ( theta ) توسط ( theta + pi. )

Lemniscate را آزمایش کنید

برای تقارن در مورد قطب.

راه حل

ابتدا سعی کنید (r ) را با (-r ، ) جایگزین کنید

از آنجا که معادله ای که به دست آورده اید همانند اصلی است ، این لومنیسم در مورد قطب متقارن است. همچنین می توانید آزمایش تقارن دیگر را امتحان کرده و ( theta ) را با ( theta+ pi ، ) جایگزین کنید

عملکرد سینوسی یک دوره (2 pi ، ) دارد که به این معنی است که هویت

برای هر مقدار از ( theta ، ) صادق است

بار دیگر معادله همانند اصلی است ، بنابراین منحنی تقارن در مورد قطب است.

شکل 18. یک تقارن با تقارن در مورد قطب

تقارن در مورد محور عمودی

سرانجام ، تقارن در مورد محور عمودی همان تقارن در مورد خط است

برای آزمایش تقارن در مورد محور عمودی ، سعی کنید (r ) را با (-r ) و ( theta ) با ( - theta. ) جایگزین کنید. با ( pi- theta. )

لیماون را آزمایش کنید

برای تقارن در مورد محور عمودی.

راه حل

با جایگزینی (r ) با (-r ) و ( theta ) با ( - theta ، ) شروع کنید

جایی که می توانید از این واقعیت استفاده کنید که عملکرد سینوسی یک عملکرد عجیب است ، به این معنی

برای هر مقدار ( theta ، ) بنابراین

از آنجا که معادله فوق با اصل اصلی نیست ، این آزمایش به شما نمی گوید که آیا منحنی در مورد محور عمودی متقارن است یا خیر. با این حال ، اگر سعی می کنید ( theta ) را با ( pi- theta ، ) جایگزین کنید

و اکنون می توانید از هویت استفاده کنید

معادله فوق معادل معادله اصلی است و ثابت می کند که این لیماون در مورد محور عمودی متقارن است.

شکل 19. یک لیماون با تقارن در مورد محور عمودی

منحنی های قطبی نمودار

شما طیف گسترده ای از منحنی های قطبی و نمودارهای آنها را دیده اید. اکنون تصور می کنیم فرمول به شما داده می شود و می خواستید منحنی قطبی را نمودار کنید.

یک استراتژی یادگیری فرمول ها برای نمونه های مهم منحنی های قطبی و درک نمودارهای مربوطه آنها است. بسیاری از منحنی هایی که از شما خواسته می شود با آنها کار کنید انواع منحنی های قطبی است که در بالا مورد بحث قرار گرفت ، بنابراین دانستن این منحنی ها ، معادلات آنها و خواص آنها می تواند بسیار مفید باشد. با این حال ، شانس این است که هر منحنی قطبی که در آن اجرا می کنید ، فرمولی را که شما تشخیص می دهید ، نخواهد داشت. ناگفته نماند که وظیفه به خاطر سپردن همه شکل ها و فرمول ها را به خاطر نمی آورد!

در اینجا می توانید به گزینه های دیگری برای نمودار منحنی های قطبی نگاه کنید.

نمودار منحنی های قطبی به صورت دستی

چندین استراتژی وجود دارد که می توانید هنگام گرافیک منحنی های قطبی به صورت دستی استفاده کنید. در این موارد ، یکی از اولین کارهایی که می توانید انجام دهید بررسی تناوبی است. اگر عملکردی که نمودار می کنید دوره ای است ، فقط باید عملکرد را در طی یک دوره نمودار کنید. سپس ، پس از اینکه این مقادیر را ترسیم کردید ، نقاط را برای مقادیر مختلف ( theta. ) پیدا کنید ، نقاط را وصل کنید تا منحنی را تقریبی کنید.

همچنین می توانید تقارن را بررسی کنید. این می تواند به طور فوق العاده میزان کارهایی را که باید انجام دهید کاهش دهد. به عنوان مثال ، اگر می دانید که یک منحنی قطبی در مورد محور عمودی متقارن است ، شما فقط باید منحنی را در یک صفحه نیمه ترسیم کنید ، سپس آن را در محور منعکس کنید تا نیمی دیگر را بدست آورید.

منحنی قطبی که توسط

راه حل

با بررسی تقارن شروع کنید. ابتدا با جایگزینی ( theta ) با ( - theta ، ) تقارن را در مورد محور قطبی بررسی کنید.

از آنجا که عملکرد کسین یک عملکرد یکنواخت است ، این بدان معنی است که

از آنجا که این معادله همانند اصلی است ، منحنی در مورد محور قطبی متقارن است. قبل از بررسی تقارن بیشتر ، سعی کنید چند مقدار خوب ( theta ) را به معادله وصل کنید.

برای نمودار کردن مقادیر منفی (r ، ) فقط به طرف مقابل زاویه ( theta ) که استفاده می کنید بروید. ترسیم این نکات به شما می دهد.

شکل 20. با اتصال نقاط ، منحنی های قطبی را نمودار می کند

بعد ، نقاط را وصل کنید. باید در نظر داشته باشید که در حال نمودار یک منحنی قطبی هستید ، بنابراین سعی کنید نقاط را در یک شکافت منحنی وصل کنید!

شکل 21. با اتصال نقاط ، منحنی های قطبی را نمودار می کند

قبلاً متوجه شدید که این نمودار دارای تقارن قطبی است ، بنابراین نمودار را به همراه محور (x-) منعکس کنید.

شکل 22. تقارن هنگام نمودار منحنی های قطبی

گرافرهای منحنی قطبی آنلاین

بسیاری از ابزارهای آنلاین آزادانه مانند Geogebra و Desmos برای نمودار کردن منحنی های قطبی وجود دارد. برای نمودار منحنی های قطبی در هر یک از این ابزارها ، به سادگی معادله را برای منحنی در قسمت ورودی تایپ کنید.

به عنوان مثال ، برای نمودار کردن گل رز با سه برگ در Geogebra یا Desmos با استفاده از مختصات قطبی ، نوع

و Enter را فشار دهید.

برای تایپ نماد ( theta ) در Geogebra ، از صفحه کلید MATH استفاده کنید که با کلیک روی نماد صفحه کلید در سمت چپ پایین قسمت ورودی می توانید باز شود. برای تایپ نماد ( theta ) در Desmos ، کلمه "theta" را تایپ کنید.

البته بسیاری از روش های دیگر برای ترسیم منحنی های قطبی وجود دارد. اگر یک ماشین حساب نمودار دارید ، احتمالاً عملکردی دارد که به شما امکان می دهد توابع را در مختصات قطبی ترسیم کنید. همچنین می توانید از زبانهای برنامه نویسی و نرم افزاری مانند Python ، Matlab و Octave استفاده کنید.

اگر در نمودار یک منحنی قطبی مشکل دارید ، دامنه مقادیر تتا را که ترسیم کرده اید بررسی کنید. گاهی اوقات ، شما باید دامنه مقادیر تتا را که استفاده می کنید گسترش دهید تا مطمئن شوید که منحنی به درستی ترسیم شده است.

مساحت منحنی های قطبی

فرض کنید شما یک منحنی قطبی تعریف شده توسط

برای پیدا کردن منطقه محدود بین خط ( theta = theta_1 ، ) منحنی (f ( theta) ، ) و خط ( theta = theta_2 ، ) شما باید از فرمول استفاده کنید

برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد این موضوع ، به مقاله ما در مورد مناطق مناطق محدود شده توسط منحنی های قطبی نگاهی بیندازید.

طول منحنی های قطبی

اگر در عوض نیاز به پیدا کردن طول منحنی قطبی (f ( theta) ، ) کشیده شده بین زاویه ها ( theta_1 ) و ( theta_2 ، ) دارید ، باید از فرمول استفاده کنید

به اطلاعات بیشتر در مورد چگونگی مقابله با این فرمول نیاز دارید؟مقاله ما در مورد طول قوس را در مختصات قطبی مشاهده کنید!

منحنی های قطبی - غذای اصلی

• منحنی های قطبی توسط روابط از نظر مختصات قطبی تعریف می شوند.
• انواع مهم منحنی های قطبی شامل لیمائون ها ، قلبی ، منحنی های گل رز ، مارپیچ های Archimedean ، مارپیچ های لگاریتمی ، تخم مرغ های کاسینی و لومماس ها است.
• سه نوع تقارن یک منحنی قطبی می تواند تقارن در مورد محور قطبی ، تقارن در مورد قطب و تقارن در مورد محور عمودی باشد.
• برای نمودار کردن منحنی های قطبی ، انواع متداول منحنی های قطبی و خصوصیات آنها را بدانید ، تناوب را بررسی کنید ، تقارن را بررسی کنید ، سپس چندین نقطه را روی منحنی پیدا کنید و آنها را وصل کنید.

1. الی ماور ، "E": داستان یک شماره ، 1994.

2. جان دبلیو راتر ، هندسه منحنی ها ، 2000.

3. Guido Grandi ، Flores Geometrici Ex Rhodonearum ، et cloeliarum curvarum descriptione نتیجه ،… ، 1728.

4. Ross L. Finney ، Franklin D. Demana ، Bert K. Waits ، Daniel Kennedy و David M. Bressoud ، حساب: گرافیکی ، عددی ، جبر ، 2016.

5. Benoit Mandelbrot ، Fractals و Chaos: Fractals و Beyond ، 2004.

6. جیمز استوارت ، حساب ، چاپ هفتم ، 2012.

سوالات متداول در مورد منحنی های قطبی

منحنی های قطبی را چگونه شناسایی می کنید؟

منحنی های قطبی از مختصات R و تتا استفاده می کنند ، در حالی که سایر منحنی ها به طور کلی از مختصات مستطیل X و Y استفاده می کنند. منحنی ها به طور کلی به صورت قطبی نوشته می شوند که به طور طبیعی از نظر فاصله از مبدا تعریف می شوند.

انواع منحنی های قطبی چیست؟

انواع مهم منحنی های قطبی شامل قلبی ، لیمائون ، منحنی های گل رز ، مارپیچ های Archimedean ، مارپیچ های لگاریتمی و Lemniscates است.

منحنی قطبی چیست؟

منحنی قطبی منحنی است که توسط یک رابطه از نظر مختصات قطبی r و تتا تعریف شده است.

چگونه یک منحنی قطبی را نمودار کنیم؟

برای نمودار کردن یک منحنی قطبی ، با تعیین اینکه آیا دوره ای است ، شروع کنید. سپس ، به دنبال تقارن باشید. در آخر ، چندین نقطه را روی منحنی محاسبه کرده و نقاط را وصل کنید.

چگونه منحنی های قطبی را ترسیم کنیم؟

منحنی های قطبی را می توان به صورت دستی یا با استفاده از نرم افزاری هایی مانند Geogebra ، Desmos ، Python ، Matlab یا Octave ترسیم کرد.